d平方 ⭐

➡️ 目錄

trimmed和shaved 什麼不一樣 🤔

1個是sparse 1個是none 🤠🙂 none

dΦ 可以看成 d * Φ

d ≠ 0

這樣一來

d²Φ 就可以看成 d * d * Φ

dΦ代表對Φ進行1次微分

d²Φ代表對Φ進行2次微分

可以用在那？

當微分可以交換時

把d當成變量
乘在一起是 d²Φ
拆開來就是 d(dΦ)

用到的地方

• 交換微分順序的面光源Le

測量Received L時

右邊代表：

用dω對Φ進行1次微分

I = dΦ / dω

得到dΦ(進入藍色管子的量)

理論上dω一樣，進入藍色管子的dΦ要一樣

但整個測量的過程依賴dA⊥，只有dω什麼都測不到

所以 I = dΦ / dω 是個假議題

最後透過dA⊥測量到的是d²Φ = d(dΦ) = cos(θ_i) dΦ

左邊代表：

用dA⊥再對dΦ進行1次微分

L = d I / dA⊥

L = d(dΦ / dω) / dA⊥

L = (d²Φ / dω) / dA⊥

L = (d²Φ / dA⊥) / dω

d²Φ - 綠色感應器測量到的量

• d²Φ = d(dΦ) = cos(θ_i) dΦ
• 正面朝向的dA，綠色感應器測量到的d²Φ大
• 傾斜朝向的dA(即dA⊥)，綠色感應器測量到的d²Φ小
• dA⊥ = dA cos(θ_i)
• d²Φ / dA⊥ = dΦ / dA = 定值 (消去cos項)

把d²Φ視為1個測量到的量，那麼

L = (d²Φ / dA⊥) / dω

就可以看成

對d²Φ進行2次除法

用到的地方

• Emitted L vs Received L ⭐
• 半球積分的Li dωi ⭐

Roll Back

把d²Φ拿掉 

會看不懂上面在幹嘛

所以又加回來了

符號的歧異

➡️ 目錄

⊥

覺得要特別標註⊥有點麻煩

之前都是直接信手拈來

Emitted L

• 交換微分順序的面光源Le ⭐⑫

E = dΦ / dA

L_o = dE_o / ( cos(θ_i) dω_o) 

L_o = dE_o / dω⊥_o 

📑 備註

這裡把dE_o寫成dE⊥_o 也不是不行

但∫ dE⊥_o = E，不是更怪？

加上dω⊥_o 就是投影立體角，用dE_o的話更一致

 

Received L

• Emitted L vs Received L ⭐⑭

dE⊥ = d²Φ / dA⊥ = d²Φ / (dA cos(θ_i))

L_i = dE⊥_i / dω_i 

cos(θ_i) dE⊥_i  = dE_i 

Integrals over Area
出處

最左邊

L_i dω_i = dE

最右邊

dω是固定的
進入dω的dΦ是固定的

中間
正面朝向的dA測量到的d²Φ大
傾斜朝向的dA測量到的d²Φ小

📑 備註
名為dE⊥
會讓人覺得光傾斜射入時
dA⊥一定會比dA小

但中間上方那張圖測量到的也是dE⊥
以這種視角，來看cos(θ_i) dE⊥_i  = dE_i
不是更加直觀？

Shading point

其實是個面

點光源

• 點光源的謎團 ⭐⑩

Shading point為dAs

E = I / R² 不一定會全部集中dAs

E_擊中dAs = cos(θ_i) I / R²

📑 備註
這裡也不是不能定義成
E⊥ = I / R²
但就覺得麻煩

BRDF

f = dL_o / dE_i

dE_i = cos(θ_i) dE⊥_i  = cos(θ_i) L_i dω_i 

f = L_o / E_i

E_i = E_擊中dAs

E_i = cos(θ_i) I / R²

Emitted L vs Received L ⭐

➡️ 目錄

∞

用到的符號

• d平方

Emitted L

從射出來理解 L的定義

• 交換微分順序的面光源Le ⭐

舉例

已知Φ、光源面積A

L_o = Φ / (A π)

Received L

從射入來理解L的定義

Received L的定義

Wiki

寫成偏微分，但可以看成對d²Φ進行2次除法

dA⊥ = dA cos(θ_i)

dE⊥ = d²Φ / dA⊥

L = dE⊥ / dΩ

PBR 3 裡那張圖指的是Received L

但單看這張圖

我無法第1時間完全明白微分的幾何意義

physically based rendering 3

dE⊥不隨dA的朝向而變

舉例

令dA = a、 dω = w

假設在dA上量到d²Φ = φ

使用上圖左上的測法

L_i = φ / ( a w )

使用上圖左下的測法

L_i = φ / ( a cos(θ_i) w )

2個測法得到的L_i 結果1樣

dE⊥不隨距離而變的情況

往物體遠離時

有更多的dA對測量產生貢獻

計算機圖形學原理及實踐, 3/e (進階篇)
Computer Graphics: Principles and Practice, 3/e

L_i = L_o

我們從已知Emitted L(或Reflected L)是什麼出發

來看看Received L是什麼

• 半球積分的Li dωi ⭐

1. 已知Emitted L(或Reflected L)為L_o
2. shading point dA_s 的Received L為L_i
3. 多個L_o射向dA_s的結果為 L_o dω = dE⊥ ①  
4. 由Received L的定義可知 L_i  = dE⊥ / dω ②
5. ①代入②得到 L_i = L_o

任務達成 🤠🙂 推導了

Reflected L

微平面理论(Cook-Torrance BRDF推导) 💫

讀完這篇後發現

L的定義也可以用在BRDF的dL_o

推敲現實世界怎麼測量Lo

➡️ 目錄

下面的量法

量的是面光源的Emitted L

設定測量實驗

怎麼量測Li

首先由Emitted L 我們知道

L_e cos(θ_e) = dE_A⤵ / dω_A⤵

• 交換微分順序的面光源 Emitted L ⭐

L_e cos(θ_e) = dE_A⤵ / dω_A⤵

L_e沿直線前進(R增加)，dA和直線垂直

dE_A⤵和dω_A⤵都隨著L_e前進而變小

但最後兩者的比值不變

L_e cos(θ_e) = dE_A⤵ / dω_A⤵

所以我們如果可以在現實世界測量到dE_A⤵和dω_A⤵

兩者相除的結果得到L_i

但因為有cos(θ_e)項！

所以面光源法向量還要指向感應器

才不會得到cos(θ_e)的差異

量測其他量

dΦ

• 用整個面光源照射感應器到就能量到dΦ

d(dΦ) = d²Φ

• 給面光源穿衣服，只漏出dA大小的面積
• 用dA大小的面光源照射感應器就能量到d²Φ

dA

• 就是感應器的面積
• 在這個面積內可以量到d²Φ

dω

• dω是透過光源dA算出來的
• dω = dA / R²

當感應器翻轉後dA cos(θ_i)

原本能測到通過dA的d²Φ

但感應器翻轉後

只能測到通過dAcos(θ_i) = dA_⊥的d²Φ

dA_⊥ = dA cos(θ_i)

• d²Φ通過的面積大小
• 在這個面積可以量到d²Φ

dω

• dω是透過光源dA算出來的
• dω = dA / R²

實驗上測量結果為

d²Φ、dA_⊥

透過光源dA算出

dω

• dω = dA / R²

拿上面量到的值做下面的運算

d²Φ / ( dA_⊥ dω ) 

結果：先微分dA_⊥、後微分dω

d²Φ / ( dA_⊥ dω ) 

= d(dΦ) / (  dA_⊥ dω ) 

= d(dΦ / dA_⊥) / dω

= dE⊥ / dω = L_i

= dE_A⤵ / dω_A⤵ = L_i

結果：或是先微分dω、後微分dA_⊥

d²Φ / ( dω dA_⊥  ) 

= d(dΦ) / ( dω dA_⊥ ) 

= d(dΦ / dω) / dA_⊥

= dI / dA_⊥ = L_i

d²Φ = dΦ cos(θ_i)

d²Φ / dω = dΦ cos(θ_i) / dω

dI = I cos(θ_i)

CG世界的Li

 ➡️ 目錄

Emitted L

從射出來理解 L_e 的定義

• 交換微分順序的面光源 Emitted L ⭐

Received L

在CG世界，shading point dA_s 的L_i可能來自

• 光源 Emitted L_e 直接射入 dA_s 
• 面光源光照
• 點光源光照
• 光打中物體dA，經過BRDF反射的L_o，射入 dA_s
1. 這就像dA變成了1個小小光源L_o (對dA來說是out )
2. 在dA_s半球方向有無數這種小小光源 L_i (對dA_s來說是in )
3. 渲染方程的半球積分，就是在加總這些小小光源L_i 的光照

一般在渲染時

都是從光源出發

用的是Emitted L_e 

BRDF

Emitted L_e 射中物體dA時

再用BRDF(記作F)產生出射L_o

i → input

o → output

F = dL_o / dE_i

dL_o = F dE_i 

下面會介紹怎麼由Emitted L_e

轉變成dE_i 

面光源光照

Integrals over Area
出處

dE_i = cos(θ_i) ( dω cos(θ_e) L_e )

dω = dA / R²

藍色部分就是從Emitted L的定義來的

• 交換微分順序的面光源 Emitted L ⭐

L_o = ∫ F dE_i = ∫ dL_o

點光源光照

F = dL_o / dE_i

也可以寫成

F = L_o / E_i 

L_o = F E_i

對點光源來說

 E_i  = cos(θ_i) I_o / R² 

L_o = F  E_i  

• 點光源的謎團 ⭐

半球積分光照

半球積分時 dE_i = L_i dω

• 半球積分的Li dωi ⭐

 L_o = ∫ F dE_i = ∫ dL_o

交換微分順序的面光源Le ⭐

➡️ 目錄

Emitted L

從射出來理解 L的定義

Wiki

Wiki上的寫法，其實是Received L

如果是Emitted L，是我會寫成

L = d²Φ / ( dA dΩ cos(θ) )

➝ 先分身再輻射

或是寫成

L = d²Φ / ( dΩ cos(θ) dA )

➝ 先輻射再分身

dΩ cos(θ) = dΩ⊥

稱為投影立體角 Figure 5.13

先分身再輻射

E = dΦ / dA

L = dE / ( dω cos(θ) ) 

利用半球面積投影到法向量平面 = 圓面積

可知 ∫ cos(θ) dω_o = π

先輻射再分身

I = dΦ / ( dω cos(θ) ) 

L = dI / dA

示意圖
中間最粗的是I，其他小的是L

先輻射產生太陽 I
I = dΦ / ( dω cos(θ) ) 

再分身成小太陽 L
L = dI / dA

因為幾何上是平面 

所以不是圓形向外輻射 ○

而是半球向外輻射 ◒

OREA R EA 哈 請給我一份I的能量 🎶

放一起比較

用到的符號

• d平方

上圖說的

①固定dω 

②固定dA

細節可以參考

• 面光源的E(irradiance)和dE ⭐

我跨越不存在的界限 🎶😋🤠

比較

「先分身再輻射」比較符合真實世界的因果關系

雖然「先輻射再分身」在數學上也說的通

點光源的謎團

➡️ 目錄

I / R² = E怎麼來的

E = dΦ / dA 式①

I = dΦ / dω，即I dω = dΦ 式②

把式②代入式①

可得

I dω / dA = dΦ / dA = E

再使用 dω = dA / R² 代入上式後

可得

I dω / dA = I / R² = E

即 I / R² = E

• 符號的歧異

差別

dE⊥ = L dω = L dA / R²

dE⊥與dA取多大有關

• 點光源的L 👩‍🔬

dE⊥與dA取多大有關

E = I / R²

E與dA取多大無關 備註1

E與dA取多大無關
不管是取dA還是取1m²大小，E同樣是  I / R²

備註1：E與dA無關

E = dΦ / dA

dA取大時，每塊dA就分到更多dΦ

dA取小時，每塊dA就分到更少dΦ

但dΦ / dA 為定值

太陽光

➡️ 目錄

假設

在地球上某處dA 

太陽整個半球都能對它進行光照

dA可以在地球半球上任意移動

等等！不需要考慮遮擋嗎！

半球上最邊緣的端點和dA的連線

已經位在法平面後面

應該無法射中dA吧！

我們是不是需要找出

臨界邊緣在那？

臨界邊緣

Geogebra

當距離夠遠
臨界邊緣就逼近半球邊緣 🧐🤠 太神奇了 珍妮佛

找夾角

dA位在半球中心時

圖1

地球直徑 =  R_E =                             12742000 公尺

太陽直徑 = R_S =                          1392700000 公尺

太陽中心 ↔ 地球中心 = D =  150000000000 公尺

tan(θ) = 0.5 R_S / ( D - 0.5 R_E )

θ = arctan( 0.5 R_S / ( D - 0.5 R_E ) ) = 0.00464249716 rad

0.00464249716 rad = 0.26613041044 度

                                     

看這0.26613041044 度有多小

所以我們可以當作所有方向平行

圖1 平行：多對1，中央case

多指的是光源；1指的是地球上的dA

當dA在地球上移動

圖2

tan(φ) = 0.5 R_E / ( D - 0.5 R_S )

φ = arctan( 0.5 R_E / ( D - 0.5 R_S ) )

= 4.26714283 × 10^-5 rad

4.26714283 × 10^-5 rad = 0.00244613283 度

看這0.00244613283 度有多小

所以我們可以當作所有方向平行

圖2 平行：1對多，中央case

因為θ >2φ

相差θ以內都算平行了

那相差2φ以內當然也都平行

粉紅點可在半球上任意移動

圖3 平行：1對多 ⭕

再加上必須滿足

「圖1 平行：多對1，中央case」

圖1 平行：多對1，中央case

所以也不可能是斜的平行

粉紅點可在半球上任意移動

圖3 平行：1對多 ❌

「圖3 平行：1對多 ⭕」代表

Sun上任一個dA和Earth上任一個dA的連線方向(1對1)

都會和Sun和Earth的中心連線平行

因為每個1對1都平行

所以下面的「圖1 平行：多對1」會成立

dA可以在地球半球上任意移動

圖1 平行：多對1

太陽半球對dA的光照

模仿面光源的計算

我們可以模仿 Integrals over Area
出處

因為太陽距離dA很遠
每個粉紅點到dA的連線距離可以當成一樣長，都是R

每個粉紅點的大小也是dA大

r = 太陽半徑

dω = dA / r²

∫ cos(θ_s) dω = π

仔細一看

這 ( π r² ) / R² 不就是立體角嗎？

ω = ( π r² ) / R² 

最後的結果為 L ω cos(θ_e) 

發現前述的作法

使用∫ cos(θ_s) dω = π 是在繞遠路

找出和平行光方向垂直的P平面

∫ cos(θ_s) dA = 把半球面積投影到P平面上

直接就得出 ∫ cos(θ_s) dA =  π r²

就算太陽表面不平滑

而是表面有高低起伏

結果不變

 ∫ cos(θ_s) dA =  π r²

 

L in Volume Rendering

➡️ 目錄

為了理解Atmospheric Scattering

我必須這樣看待L

①L在行進中不變

➡️ L在行進中不隨距離衰減

L = dE⊥ / dω 

dE⊥和dω同時變小，所以L不變

②直到擊中shading point 後，才計算dE⊥

➡️ 從L轉變為dE⊥ = L dω

Single Scattering integration

如果不存在空氣中的粒子

L_sun在行進中不變①

但因為空氣中的粒子散射

最後只剩( T(sum➝P) * T(P➝a) ) 倍

➡️ L_sun S ( T(sum➝P) * T(P➝a) )

出處

❓ ( T(sum➝P) + T(P➝a) ) 的部分 

我覺得應該是

( T(sum➝P) * T(P➝a) )

Multi Scattering裡的球面積分

• 半球積分的L_i dω_i

不能再用「思路1」

因為經過多重散射後

已不是從L_o匯聚成L_i這麼簡單

                                                                                  

但仍然可以使用「思路2」

從Received L的定義可知

dE⊥ = L(x,ω') dω'

紫色框框為球面積分

HDRP裡光源的單位

➡️ 目錄

功率Power

W(瓦特)、Φλ(radianet flux)都是功率

Hz頻率

量綱為 1/s

SPD(λ)

SPD → spectral power distribution

More generally, the term SPD can refer to the concentration, as a function of wavelength, of any radiometric or photometric quantity (e.g. radiant energy, radiant flux, radiant intensity, radiance, irradiance, radiant exitance, radiosity, luminance, luminous flux, luminous intensity, illuminance, luminous emittance).

SPD量綱可以是 E / λ、L / λ、I / λ、Φ / λ

λ是波長

備註

知道機率和機率密度有什麼不同後

我終於get到SPD為什麼要這麼定義

Book5_Ch02_统计描述__统计至简__鸢尾花书 💫

PBR 5.1 Spectral Representation

SPD(λ)轉RGB

SPD

是怎麼轉成 RGB的？

出處

出處

SI的cd

原來就是 I 阿 😋🤠 有眼不識泰山

Wiki

Photometry
W和lm不一樣

Photometry

Photometry → 光度學

不同於Radiometry

光度學把不同波長的Φ_λ用光度函數加權

合成對人眼的有效Φ_v (Luminous flux)

Φ_v = K_555.016 ∫ V(λ) Φ_e(λ) dλ

K_555.016 = 683 lm / W

光強度的單位：燭光(cd)

不只對Φ可以

也能轉換I_e為I_v

以此類推

光強度的單位：燭光(cd)

來看看Unity裡的單位

HDRP裡光源的單位是Photometry  ❓

EV 100 查了一下是光圈，和針孔相機的孔徑大小有關

Lux是用 E = I / (R²)，R = 1算出來的

Hello HDRP

看了這系列的文章發現

📑 [总结] 漫谈HDR和色彩管理（五）游戏中的HDR

光源的單位直接使用Photometry

對SDR銀幕 
渲染完得到的nit (N_x , N_y , N_z)
經過如此如此這般這般…
最後RGB會落在0~1之間
銀幕再根據RGB決定要顯示多亮(nit)

對HDR銀幕 
渲染完得到的nit (N_x , N_y , N_z)
經過如此如此這般這般…
最後RGB也會落在0~1之間
銀幕再根據RGB決定要顯示多亮(nit)

from unity HDRP Color.hlsl

完成Tonemapping後
會把(N_x , N_y , N_z)重新映射到(R , G , B)
R、G、B會位在0~1之間

RGB和銀幕的L_max

當pixel的RGB=(1,1,1)

會得到銀幕的最大nit值L_max

當pixel的RGB=(0.5,1,1)

得到的銀幕nit值 < L_max

光源強度L_v和color filter

有面光源

color filter = (r,g,b) 和 Luminance = L_v

指的是

當color filter為(1 , 1 , 1)時面光源Luminance = L_v

color filter調小後，面光源Luminance < L_v

Unity HDRP 的面光源 

L = Φ / 4π / A 

單位選Lumen時

會固定Φ，所以把面光源面積調大A，L就會減弱 

單位選nit (L)時

會固定L，把面光源面積A調大，亮度不變，代表Φ增加了