LTC Area Light 淺嘗

教材

Real-Time Polygonal-Light Shading with Linearly Transformed Cosines

中文參考資料

• Real-Time Polygonal-Light with LTC
• 基于 LTC 方法的 URP 实时多边形光源踩坑
• 利用LTC实现实时多边形面积光
• LearnOpenGL CN 区域光
• 实时范围光Area Light渲染及其数学原理推导

面光源對dA積分

可轉成對立體角dω積分

Integrals over Area
E = ∫ dE
出處

dω_i = cos(θ_o) dA / r²
dE⊥ = L dω_i
dE = L cos(θ_i) dω_i
E = ∫ dE = ∫ L cos(θ_i) dω_i

也可以看成是對投影立體角積分
E = ∫ L dω⊥i

計算L_o的話要再考慮BRDF p
L_o = ∫ p L cos(θ_i) dω_i
get 式① L_o = L ∫ p cos(θ_i) dω_i

Do(ωo) ➝ D(ω)

D_o(ω_o) ➝ D(ω) ≃ p * cos(θ_i)

其實你愛我像誰
扮演什麼角色我都會 🎶

可愛又迷人的反派角色 🤠🙂 π米阿

圖 a) 是D_o(ω_o)

D_o(ω_o)可以變成不同的D(ω)

圖 b) 是其中1種D(ω)

D(ω)又和 p cos(θ_i)長得很像

D(ω) ≃ p cos(θ_i) 代入式①後

get 式② L_o = L ∫ p cos(θ_i) dω_i = L ∫ D(ω) dω

圖改自這裡

D(ω)示意圖

out向量指向eye
黃色向量是out的反射向量
也是下圖D(ω)的中心向量

出處

上方D(ω)

下方D_o(ω_o)

怎麼變換

先變換到shading point的Local space

(3軸是T1、T2、N)

再變換到D_o(ω)空間

D(ω)的中心向量

會變成D_o(ω_o)的(0,0,1)向量

S是2個空間的bridge

D_o(ω_o) = (1/π) cos(θ_o)

ω_o是立體角，ω_o是立體角的指向

有 S = ∫ D_o(ω_o) dω_o 

ω_o和ω是「一一對應」

由上圖可知

D_o(ω)分佈範圍大，D(ω)分佈範圍小

所以 dω_o > dω

當濃度不變時 D(ω) = D_o(ω_o)

∫ D(ω) dω = ∫ D(ω_o) dω < S

濃度提高後 D(ω) = D_o(ω_o) dω_o / dω

get 式③ ∫ D(ω) dω = ∫ D_o(ω_o) dω_o = S

出處

上方D(ω)濃度高

下方D_o(ω_o)濃度低

把面光源的幾何形狀P

從D(ω)空間逆變換到D_o(ω)空間後

P_o會變大

怎麼找出dω_o / dω

• LTC Area Light 裡的線代

在D_o(ω_o)空間打光的好處

式② L_o = L ∫ p cos(θ_i) dω_i = L ∫ D(ω) dω

式③ ∫ D(ω) dω = ∫ D_o(ω_o) dω_o = S

由式②和式③可得

L_o = L ∫ p cos(θ_i) dω_i

= L ∫ D_o(ω_o) dω_o = L S

D_o(ω_o) = (1/π) cos(θ_o)

∫ D_o(ω_o) dω_o = ∫ (1/π) cos(θ_o) dω_o  

S = (1/π) ∫ dω⊥_o 

L_o = L ∫ p cos(θ_i) dω_i

= L ∫ D_o(ω_o) dω_o = L S = L (1/π) ∫ dω⊥_o 

在另D_o(ω_o)空間進行打光

只要積分投影立體角！

出處

上方D(ω)

為面光源A上每個dA計算投影立體角

每個投影立體角還要乘上p

下方D_o(ω_o)

只需要計算面光源A的投影立體角

積分投影立體角

E(P_o) = S= ∫ D_o(ω_o) dω_o = (1/π) ∫ dω⊥_o 

嚴格說來 ∫ D_o(ω_o) dω_o 其實不是Irradiance E

使用

• Geometric Derivation of the Irradiance of Polygonal Lights

結束這1回合

Bravo！

Come be my teacher

네 모든 걸 다 가르쳐줘

Your one, your two 🎶

等等那M怎麼找出來的？

窩不知道

出處

Trace Code：Image Based Lighting

Trace what

LearnOpenGL：鏡面反射 IBL

IntegrateBRDF

程式碼

pdf怎麼來的？

窩不知道

Microfacet BRDF的分母怎麼來的？

窩不知道

有些事情還是不要知道比較好 🙂🤠

遇到老司機

微平面理论(Cook-Torrance BRDF推导) 💫

可以繞過英文真是太好了

原圖出自上面的連結

dω_h =( dω_i + dω_o )/2

固定dω_i轉動dω_h，dω_o就會跟著改變

最後會發現

dω_o是dω_h的2倍大

pdf怎麼來的？

把上面那張圖反著畫(固定dω_o)，可知

1 / 4(HoL)= dω_h / dω_L

L for light dirction

h for half vector

又因為

pdf_h * dω_h = pdf_L * dω_L

這招在Ray Tracing in One Weekend Series瞄過1眼

代號「雪莉」

最後可得

pdf_L = pdf_h * dω_h / dω_L

pdf_L = pdf_h / 4(HoL)

同時 HoL = HoV

V for view direction

ImportanceSampleGGX有符合上面提到的pdf_h嗎？

IBL 中 ImportanceSampleGGX 的 cosTheta 是怎么算出来的？ 💫

奇怪的是

把P(S_θ)放到Geogebra裡畫

看起來完全不像cos^-1(xxx)的反函數

Geogebra

紅色那條不是應該長成這樣嗎？

對稱x=y軸

A哥的頭髮得再厚一點才行 🙂

prefilter.fs

黃色部分怎麼來的
基于物理的渲染：基于图像照明 💫

可逆的BRDF

當BRDF可逆時

圖改自這裡

從黑色箭頭方向射入1後(in)
會向多個方向散射(out)

1對多能量守恆
∀ ω_i ，∫ f_r cos(θ_r) dω_r ≤ 1
r 就是 out

圖改自這裡

BRDF的可逆指的是
從黃色箭頭方向射入1後(in)
往黑色箭頭方向散射為0.3

多對1能量守恆
∀ ω_r ，∫ f_r cos(θ_i) dω_i ≤ 1
r 就是 out

出處

1對多能量守恆的証明

BRDF能量守恒证明 💫

Emitted L vs Received L ⭐

➡️ 目錄

∞

用到的符號

• d平方

Emitted L

從射出來理解 L的定義

• 交換微分順序的面光源Le ⭐

舉例

已知Φ、光源面積A

L_o = Φ / (A π)

Received L

從射入來理解L的定義

Received L的定義

Wiki

寫成偏微分，但可以看成對d²Φ進行2次除法

dA⊥ = dA cos(θ_i)

dE⊥ = d²Φ / dA⊥

L = dE⊥ / dΩ

PBR 3 裡那張圖指的是Received L

但單看這張圖

我無法第1時間完全明白微分的幾何意義

physically based rendering 3

dE⊥不隨dA的朝向而變

舉例

令dA = a、 dω = w

假設在dA上量到d²Φ = φ

使用上圖左上的測法

L_i = φ / ( a w )

使用上圖左下的測法

L_i = φ / ( a cos(θ_i) w )

2個測法得到的L_i 結果1樣

dE⊥不隨距離而變的情況

往物體遠離時

有更多的dA對測量產生貢獻

計算機圖形學原理及實踐, 3/e (進階篇)
Computer Graphics: Principles and Practice, 3/e

L_i = L_o

我們從已知Emitted L(或Reflected L)是什麼出發

來看看Received L是什麼

• 半球積分的Li dωi ⭐

1. 已知Emitted L(或Reflected L)為L_o
2. shading point dA_s 的Received L為L_i
3. 多個L_o射向dA_s的結果為 L_o dω = dE⊥ ①  
4. 由Received L的定義可知 L_i  = dE⊥ / dω ②
5. ①代入②得到 L_i = L_o

任務達成 🤠🙂 推導了

Reflected L

微平面理论(Cook-Torrance BRDF推导) 💫

讀完這篇後發現

L的定義也可以用在BRDF的dL_o

推敲現實世界怎麼測量Lo

➡️ 目錄

下面的量法

量的是面光源的Emitted L

設定測量實驗

怎麼量測Li

首先由Emitted L 我們知道

L_e cos(θ_e) = dE_A⤵ / dω_A⤵

• 交換微分順序的面光源 Emitted L ⭐

L_e cos(θ_e) = dE_A⤵ / dω_A⤵

L_e沿直線前進(R增加)，dA和直線垂直

dE_A⤵和dω_A⤵都隨著L_e前進而變小

但最後兩者的比值不變

L_e cos(θ_e) = dE_A⤵ / dω_A⤵

所以我們如果可以在現實世界測量到dE_A⤵和dω_A⤵

兩者相除的結果得到L_i

但因為有cos(θ_e)項！

所以面光源法向量還要指向感應器

才不會得到cos(θ_e)的差異

量測其他量

dΦ

• 用整個面光源照射感應器到就能量到dΦ

d(dΦ) = d²Φ

• 給面光源穿衣服，只漏出dA大小的面積
• 用dA大小的面光源照射感應器就能量到d²Φ

dA

• 就是感應器的面積
• 在這個面積內可以量到d²Φ

dω

• dω是透過光源dA算出來的
• dω = dA / R²

當感應器翻轉後dA cos(θ_i)

原本能測到通過dA的d²Φ

但感應器翻轉後

只能測到通過dAcos(θ_i) = dA_⊥的d²Φ

dA_⊥ = dA cos(θ_i)

• d²Φ通過的面積大小
• 在這個面積可以量到d²Φ

dω

• dω是透過光源dA算出來的
• dω = dA / R²

實驗上測量結果為

d²Φ、dA_⊥

透過光源dA算出

dω

• dω = dA / R²

拿上面量到的值做下面的運算

d²Φ / ( dA_⊥ dω ) 

結果：先微分dA_⊥、後微分dω

d²Φ / ( dA_⊥ dω ) 

= d(dΦ) / (  dA_⊥ dω ) 

= d(dΦ / dA_⊥) / dω

= dE⊥ / dω = L_i

= dE_A⤵ / dω_A⤵ = L_i

結果：或是先微分dω、後微分dA_⊥

d²Φ / ( dω dA_⊥  ) 

= d(dΦ) / ( dω dA_⊥ ) 

= d(dΦ / dω) / dA_⊥

= dI / dA_⊥ = L_i

d²Φ = dΦ cos(θ_i)

d²Φ / dω = dΦ cos(θ_i) / dω

dI = I cos(θ_i)

CG世界的Li

 ➡️ 目錄

Emitted L

從射出來理解 L_e 的定義

• 交換微分順序的面光源 Emitted L ⭐

Received L

在CG世界，shading point dA_s 的L_i可能來自

• 光源 Emitted L_e 直接射入 dA_s 
• 面光源光照
• 點光源光照
• 光打中物體dA，經過BRDF反射的L_o，射入 dA_s
1. 這就像dA變成了1個小小光源L_o (對dA來說是out )
2. 在dA_s半球方向有無數這種小小光源 L_i (對dA_s來說是in )
3. 渲染方程的半球積分，就是在加總這些小小光源L_i 的光照

一般在渲染時

都是從光源出發

用的是Emitted L_e 

BRDF

Emitted L_e 射中物體dA時

再用BRDF(記作F)產生出射L_o

i → input

o → output

F = dL_o / dE_i

dL_o = F dE_i 

下面會介紹怎麼由Emitted L_e

轉變成dE_i 

面光源光照

Integrals over Area
出處

dE_i = cos(θ_i) ( dω cos(θ_e) L_e )

dω = dA / R²

藍色部分就是從Emitted L的定義來的

• 交換微分順序的面光源 Emitted L ⭐

L_o = ∫ F dE_i = ∫ dL_o

點光源光照

F = dL_o / dE_i

也可以寫成

F = L_o / E_i 

L_o = F E_i

對點光源來說

 E_i  = cos(θ_i) I_o / R² 

L_o = F  E_i  

• 點光源的謎團 ⭐

半球積分光照

半球積分時 dE_i = L_i dω

• 半球積分的Li dωi ⭐

 L_o = ∫ F dE_i = ∫ dL_o

交換微分順序的面光源Le ⭐

➡️ 目錄

Emitted L

從射出來理解 L的定義

Wiki

Wiki上的寫法，其實是Received L

如果是Emitted L，是我會寫成

L = d²Φ / ( dA dΩ cos(θ) )

➝ 先分身再輻射

或是寫成

L = d²Φ / ( dΩ cos(θ) dA )

➝ 先輻射再分身

dΩ cos(θ) = dΩ⊥

稱為投影立體角 Figure 5.13

先分身再輻射

E = dΦ / dA

L = dE / ( dω cos(θ) ) 

利用半球面積投影到法向量平面 = 圓面積

可知 ∫ cos(θ) dω_o = π

先輻射再分身

I = dΦ / ( dω cos(θ) ) 

L = dI / dA

示意圖
中間最粗的是I，其他小的是L

先輻射產生太陽 I
I = dΦ / ( dω cos(θ) ) 

再分身成小太陽 L
L = dI / dA

因為幾何上是平面 

所以不是圓形向外輻射 ○

而是半球向外輻射 ◒

OREA R EA 哈 請給我一份I的能量 🎶

放一起比較

用到的符號

• d平方

上圖說的

①固定dω 

②固定dA

細節可以參考

• 面光源的E(irradiance)和dE ⭐

我跨越不存在的界限 🎶😋🤠

比較

「先分身再輻射」比較符合真實世界的因果關系

雖然「先輻射再分身」在數學上也說的通

點光源的謎團

➡️ 目錄

I / R² = E怎麼來的

E = dΦ / dA 式①

I = dΦ / dω，即I dω = dΦ 式②

把式②代入式①

可得

I dω / dA = dΦ / dA = E

再使用 dω = dA / R² 代入上式後

可得

I dω / dA = I / R² = E

即 I / R² = E

• 符號的歧異

差別

dE⊥ = L dω = L dA / R²

dE⊥與dA取多大有關

• 點光源的L 👩‍🔬

dE⊥與dA取多大有關

E = I / R²

E與dA取多大無關 備註1

E與dA取多大無關
不管是取dA還是取1m²大小，E同樣是  I / R²

備註1：E與dA無關

E = dΦ / dA

dA取大時，每塊dA就分到更多dΦ

dA取小時，每塊dA就分到更少dΦ

但dΦ / dA 為定值

太陽光

➡️ 目錄

假設

在地球上某處dA 

太陽整個半球都能對它進行光照

dA可以在地球半球上任意移動

等等！不需要考慮遮擋嗎！

半球上最邊緣的端點和dA的連線

已經位在法平面後面

應該無法射中dA吧！

我們是不是需要找出

臨界邊緣在那？

臨界邊緣

Geogebra

當距離夠遠
臨界邊緣就逼近半球邊緣 🧐🤠 太神奇了 珍妮佛

找夾角

dA位在半球中心時

圖1

地球直徑 =  R_E =                             12742000 公尺

太陽直徑 = R_S =                          1392700000 公尺

太陽中心 ↔ 地球中心 = D =  150000000000 公尺

tan(θ) = 0.5 R_S / ( D - 0.5 R_E )

θ = arctan( 0.5 R_S / ( D - 0.5 R_E ) ) = 0.00464249716 rad

0.00464249716 rad = 0.26613041044 度

                                     

看這0.26613041044 度有多小

所以我們可以當作所有方向平行

圖1 平行：多對1，中央case

多指的是光源；1指的是地球上的dA

當dA在地球上移動

圖2

tan(φ) = 0.5 R_E / ( D - 0.5 R_S )

φ = arctan( 0.5 R_E / ( D - 0.5 R_S ) )

= 4.26714283 × 10^-5 rad

4.26714283 × 10^-5 rad = 0.00244613283 度

看這0.00244613283 度有多小

所以我們可以當作所有方向平行

圖2 平行：1對多，中央case

因為θ >2φ

相差θ以內都算平行了

那相差2φ以內當然也都平行

粉紅點可在半球上任意移動

圖3 平行：1對多 ⭕

再加上必須滿足

「圖1 平行：多對1，中央case」

圖1 平行：多對1，中央case

所以也不可能是斜的平行

粉紅點可在半球上任意移動

圖3 平行：1對多 ❌

「圖3 平行：1對多 ⭕」代表

Sun上任一個dA和Earth上任一個dA的連線方向(1對1)

都會和Sun和Earth的中心連線平行

因為每個1對1都平行

所以下面的「圖1 平行：多對1」會成立

dA可以在地球半球上任意移動

圖1 平行：多對1

太陽半球對dA的光照

模仿面光源的計算

我們可以模仿 Integrals over Area
出處

因為太陽距離dA很遠
每個粉紅點到dA的連線距離可以當成一樣長，都是R

每個粉紅點的大小也是dA大

r = 太陽半徑

dω = dA / r²

∫ cos(θ_s) dω = π

仔細一看

這 ( π r² ) / R² 不就是立體角嗎？

ω = ( π r² ) / R² 

最後的結果為 L ω cos(θ_e) 

發現前述的作法

使用∫ cos(θ_s) dω = π 是在繞遠路

找出和平行光方向垂直的P平面

∫ cos(θ_s) dA = 把半球面積投影到P平面上

直接就得出 ∫ cos(θ_s) dA =  π r²

就算太陽表面不平滑

而是表面有高低起伏

結果不變

 ∫ cos(θ_s) dA =  π r²