parallel transport的疑惑

Four Five Six , I don't wanna be.

沒必要每天都得正向積極 🎶

有氣無力也是1種態度 🤠🙂 That's right

該從何說起呢

相對論 20

幾何2 17講

既然parallel transport是

把V_b從座標系B變換到座標系A後

和V_a的差為0向量

那V_b和V_a看起來應該會平行吧

但在球上

為何不是長成右手邊那樣？

的確

球上的切平面只有2個維度
再怎麼平行也不能超出切平面

所以

沿著大圓(測地線)的座標值長怎樣？

(v,u)

v是緯度、u是經度

如果是用A^-1BV的方式
把V從赤道往北極一路進行座標變換
因為投影的關系，向量V會愈來愈短
一開始在赤道座標值(1,0)
到達北極不可能還是(1,0)

沿著赤道對(0,1)進行座標變換

也會有類似的變短問題

但

看別人直接去解Parallel Transport Equantion

結果在θ = π/2的圓上

任一點的座標值都是(0,1)

出處

S₁ 就是X_v
S₂ 就是X_u

S₁ S₂代表點p的2個basis
那向量T可寫成S₁、S₂的線性組合
T₁ S₁ + T₂ S₂

想看T沿著φ方向的平移所以內插方向選(0,1)
對Γ進行內插有
0 Γ^x_1y + 1 Γ^x_2y = Γ^x_2y (x和y可以是1或2)
這樣只會使用到Γ^x_2y

填入Γ

解微分方程 算出T₁ T₂

重新寫成T₁ S₁ + T₂ S₂

即便

不解方程式，用離散的作法使用Γ

Γ

Γ^α_vuV^udx^v

dx^v/ε = D^v

Γ^α_vuV^uD^v
順序可以交換

第1行是Γ^α_vudx^v的結果，dx^v = ε(0,1)，θ = π/2
第2行V^u = (0,1)

在赤道上的座標值也都是(0,1)

喔對了

X_v的方向應該是朝下

所以上面壓根不是(1,0)而是(-1,0)

黃色和黑色向量的差和傳說中的

黎曼曲率張量有關

相對論 21

那雖然

我不會解Parallel Transport Equantion

不過有發現

Geogebra

把大圓上的單位切向量V
投影到X_u和X_v取得座標值CordinateValue
座標值會隨著點P不停變化

但cos(α)=V X_u是個守恆量
V X_u是1個定值

離開大圓的話
cos(α)≠V X_u
V X_u也不是定值

另外這個也有點意思

點P逆時針方向從Lowest到Highest
V和X_v的夾角會從 90度增加到90+55.35
再減少回90度

從Highest到Lowest
V和X_v的夾角會從 90度減少到90-55.35
再增加回90度

這就像有顆紫色小球
在藍色大球裡來回滾動

當α=0，紫色小球就待在谷底一動不動
當α增加，紫色小球滾動到達的高度也會提高
當α=π/2，紫色小球彷佛搆著了頂端，不願再滾

Γ

我可以喝酒不和你聯絡

任日子一天天這麼過 🎶

笛卡爾座標，基向量e_u不隨位置改變
微分不用管e_u項

極座標，基向量e_u隨位置而變
微分要考慮e_u項

B-A = 2個座標系基向量的差

原圖來自這裡

V_|| = b in A

把b in B變換到b in A
看起來就像把b平移過去(parallel transport)
所以才會取名為V_||

a few days ago ...

張量tensor

要滿足這樣的形式

開放式課程 相對論

P-form

P-form是tensor的子集

P-form一定是Tensor

Tensor不一定是P-form

covector是1-form

對Tensor微分

結果不再是Tensor

有3種特別的微分能做到

1)李微分

2)外微分

只能對P-form外微分

1-form 微分完變 2-form

(1維變2維)

但是微2次就GG

If - A = A , then A = 0

3)協變微分

帶Γ的微分

對vector協變微分

Γ不是張量

它只是幫助張量成為張量

對covector協變微分

協變微分的幾何意義

向量a和向量b位在不同的座標系

V_||的幾何意義

泰勒展開

提出dx^α到大括號外面，再除以E

就會得到下圖的綠色部分

+綠色項 VS +紅色項 

有什麼差別？

原圖來自這裡

假設向量a和向量b長這樣

藍色項+綠色項 = 

A座標系下的座標值(1,1)

原圖來自這裡

很明顯A座標系下的(1,1)和b的方向看起來不一樣

再+紅色項

會把(1,1)修正為V_||

原圖來自這裡

A座標系底下的V_||和B座標底下的b方向就一致了

圖①

比較 圖①和圖②

圖②

step by step

Γ長怎樣

原圖來自這裡

原圖來自這裡

原圖來自這裡

和教授的表示法不同

這個影片是用Γ^c_ex的話，教授就是用Γ^c_xe

原圖來自這裡

Γ^c_ex的x指的是沿著那個方向微分

∂x⁰或∂x¹

Γ^c_ex的e指的是對那個基向量微分

e₀或e₁

對基向量微分後

再變換回座標系A，結果為向量q e₀ + r e₁ 

e₀的座標值或e₁的座標值

這就是Γ^c_ex的c

怎麼使用Γ

V^α就是座標系A的向量a

挖的麻吉置叨 🎶 置這 置這

Demo

我也好想要有被動收入 🙂🤠 等妳挖到石油

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是不是腦子不好使 🙂🤠 好球 觸殺出局