2021年11月28日星期日

為什麼要在4D space裁切三角形

原本我覺得要在camera space作裁切

(用視錐的6個平面)

可再想想

我們使用數學庫生成projection Matrix時

zFar和zNear(in camera space)

其實是被編碼在Matrix的2個component上面的。

而傳給Verext Shader 的，可以有下面2種情況

第1種：MVP分開

第2種：MVP乘在一起

第1種情況

如果OpenGL知道你傳的是那一種Projection Matrix

可以用Projection的2個component

重新解出zNear和zFar(但這也是Camera Space的)

但OpenGL其實不知道你傳那一種

第2種情況

我猜不行

由上可知

它不需要知道zNear和zFar

projection space ( or clip space)

乘上projection Matrix之後，視椎體的fov變成了一定是90度角

(原來在camera space 時不一定是90度，但除tanHalfFov項之後就一定是90度了)

這樣一來裁切平面就變成有4個是固定的

(和y軸夾45度角的2個平面，和x軸夾45度角的2個平面)

備註：

線段和這4個平面的交點

平面方程式是 dot( (P-C),N )= 0

和y軸夾45度角的2個平面，其中1個是

N=(1,0,-1),C=(0,0,0)所以該平面是 x=z

三角形 Vo、V1、V2

其中的一邊所在的射線為

Vo+t(V1-Vo)

代入 x=z 平面

解出t就能算出交點了

能不能6個平面都在NDC裡作裁切？

4個平面不能在NDC裡裁切，原因是：

如果A點和B點構成線段L

而L和其中一個裁切平面的交點為S

在projection space空間裡，A、B、S三點共線

但在NDC space，這3點不能保證共線

(這一段是在OpenGPU論壇看到的，我只是把前人說的話，畫成圖)

✖️是和y軸夾45度角的2個平面

(x , y , z , w)是Projection space的點

(1)畫的是(x , y , w)

(2)畫的是(x/w , y/w , 1)

(3)畫的是(x/w , y/w , z/w)

這張圖的NDC z是位在0~1之間

你會發現B的位置跑掉了

projection space ( or clip space)

仔細看clipping裡的條件

它說6個平面都可以在

projection space判定是否需要clip

為什麼？

以Directx為例

model view projection 全部使用左手座標

view space的頂點為V_v =(x_v, y_v, z_v)

projection space的頂點為V_p = (x_p, y_p, z_p, w_p)

z_p= a z_v + b

w_p= z_v

NDC space z_n= z_p/ w_p

當V_p在近平面和遠平面之間

z_n會落在0和1之間

0 ≤ z_n ≤ 1

0 ≤ z_p/ w_p ≤ 1

0 ≤ z_p ≤ w_p式A

當V_p在遠平面外面

z_n > 1

z_p/ w_p > 1

z_p > w_p

當V_p在近平面外面

z_n < 0

z_p/ w_p < 0

z_{p <} w_p

所以用式A就可以判定是否需要clip

完全不需要知道近遠平面是什麼！

(OpenGL也是類似的道理)

當三角形的2個頂點V₀和V₁需要被裁切

對線段做插值就可以得出裁切平面(遠平面)上的點

(視錐的其他5個平面也可以套用類似的方法)

NDC之後還有1次z的remapping

glDepthRange

參考資料

虎書某一小節好像有提到
雖說只挑了重點看 Scratchapixel 2.0 - clipping

寫完軟光柵後

圖 Screen Space

先解出t,s找到點hit，就能算出α

發現其實不必在Clip space裁切左、右、上、下

因為在Screen Space 光柵化三角形前

會找出包圍三角形的矩形

而這個矩形又會受限於Screen Space的大小

效果等於在Clip space裁切左、右、上、下

Code

但是不裁切的話

矩形超出Screen外面的部分

也會在loop裡

雖然沒做任何事

實作中發現的有趣效果

Demo

2021年11月27日星期六

透視校正

假設三角形的3個頂點

在modle space是A_m、B_m、C_m

頂點乘上Model View Projection Matrix(MVP)後

變換到Projection space
MVP(A_m) = A = ( A(x),A(y),A(z),A(w) )
MVP(B_m) = B = ( B(x),B(y),B(z),B(w) )
MVP(C_m) = C = ( C(x),C(y),C(z),C(w) )

P是位在三角形ABC上的1點

那麼P在Projection space的插值是 (見下面的圖P)
P(x) = A(x)α'+B(x)*β'+C(x)*γ'
P(y) = A(y)α'+B(y)*β'+C(y)*γ'
P(w) = A(w)α'+B(w)*β'+C(w)*γ'

圖P

透視校正

(a α' + b β' + c γ')/P(w) = α a/A(w)+β b/B(w)+γ c/C(w)
意思是：「先內插的結果再 / w」 = 「先各自 / w再內插」見上圖

把上式左右交換
α a/A(w)+β b/B(w)+γ c/C(w) = (a α' + b β' + c γ')/P(w)

再同乘P(w)後有
(α a/A(w)+β b/B(w)+γ c/C(w))*P(w) = (a α' + b β' + c γ')

意思是：
把「先各自 / w再內插」的結果 * w
就能還原為「先內插的結果」

舉例

A,B,C 除w 之後會變成A_n、B_n、C_nA_n = A/ A(w)、B_n = B/ B(w)、C_n = C/ C(w)
An(uv) = A(uv)/ A(w)

這時A_n、B_n、C_n的插值是P_nP_n = A_n*α + B_n*β + C_n*γ
P_n(uv) = A_n(uv) *α + B_n(uv) *β + C_n(uv) *γ

從圖P可以看出來 P/P(w) = P_n反過來就是
P = P_n * P(w)
P(uv) = P_n(uv) * P(w)
這樣就還原到/w之前的空間了

備註：P(z)是什麼？

P/P(w) 的幾何意義是，把P投影到z=1的平面上
對映到的是 ( P(x),P(y),P(w) ) / P(w) = ( P(x)/P(w) , P(y)/P(w) , 1 )
因為P(w)/P(w)永遠都是1
所以需要P(z)/P(w)來解決深度排序

從projection矩陣可以知道
如果P_view 是 camera space的P
P(z) = P_view(z)*a+b

投影矩陣對z的修正(我用的是Directx的版本，NDC的z會落在0~1之間)

2021年11月17日星期三

用ASM實現Navigator效果

用Unity的ASM硬幹Navigator

ASM(Animation State Machines)

stacknavigator和tabnavigator

其實就是在處理狀態的轉移

所以用ASM就可以搞出一樣的效果

下面的狀態機是參考自這個頁面的UI配置

murobox

當時在練習使用Unity的UI ( 還不是為了 😍 錢錢

區塊代表的意義

深橘色是大狀態，用來達到tabnavigator的劃分功能。
淺橘色是子狀態，用來達到stacknavigator的回朔和記憶(memory)功能。

線段代表的意義

淺藍、深藍線代表由上而下，比如說「Selector」到「音樂庫(1)」；
或是「memory」到「全部樂曲」；只要從「memory」出發的就會是深藍線。
紅線代表由下而上，比如說「全部樂曲」返回「音樂庫」。

舉個例子

User正在「全部樂曲」Panel。此時他點擊分頁按鈕「我的清單」，會產生goTop訊息給State Machine，「Any」子狀態收到goTop後會轉移到「Selector」狀態；「Selctor」狀態依據target會前往「我的清單(2)」狀態，並進入「memory」子狀態；假設之前已經進入過我的清單，而且是停在「清單樂曲」，就會由「memory」直接轉移到「清單樂曲」。
User正在「清單樂曲」Panel，這時他點擊其中一首曲子播放，於是「播放曲目」Panel會更新正在播放的曲目資訊。接著他點擊「播放曲目」Panel上的編輯按鈕，會產生goTop訊息，「Any」子狀態收到goTop後會轉移到「Selector」狀態；「Selector」跟據target會前往「編曲(3)」狀態。當他編曲結束後按某個按鈕會產生goTop，然後轉移到「Selector」。由於from有記錄他之前是在「我的清單(2)」狀態，「Selector」會把他導向那裡。進入「memory」後因為有過去的記錄，接著又導向「清單樂曲」狀態。
User正在「清單樂曲」Panel，此時他點擊分頁按鈕「編曲」，會產生goTop訊息，「Any」子狀態收到goTop後會轉移到「Selector」狀態；以下的Flow就不再重述，但是這個動作會產生新的編曲，而不是編輯舊的曲目。