unzip 2×2 Matrix in 幾何一 第13講B

最近很少發照片

沒以前這麼喜歡cos了？ 🤠

過了想逗男人開心的階段

我現在喜歡的是這種風格 🙂 

T Style

BGM

好 這次的迷團是

幾何一 第13講B 6:45

T_p(S₁)指的是
所有和Regular Surface S₁上1點p相切的向量
就好像位在1個切平面上
這個切平面就是Tangent space

教授嘴上說
φ：R³ → R³
α：I → S ⊆ R³

為什麼到了這裡又變成
φ：R² → R²
α：I → R²

女人就是常常這樣

說是1套 做是1套 🙂

今夜だけでも シンデレラ・ボーイ

Do you wanna dance tonight? 🎶🤠 

所以上面的φ

只是把 u,v 變換到 u,v

φ：R² → R²

那為什麼

R²的u,v能代表S₁上的R³切向量？

假設uv space的有1個切向量(a,b)

(a,b) = a e₁ + b e₂ = a (1,0) + b (0,1)

把上面的基向量e₁、e₂替換成R³的T、BT

(a,b) = a T + b BT

得到的就是S₁上的R³切向量

(下面圖2)

幾何一 第7講B 3:07

幾何一 第7講B 19:52

圖2

上面的3×2矩陣

就是切平面的2個基向量T 和 BT

看得出來uv space的(a,b)

就是tangent space的(a,b)

但是等等

教授在幾何一 第13講C

舉的例子怎麼又變成 φ：R³ → R³

( 這裡的φ是繞z軸旋轉 )

幾何一 第13講C 2:36

ω是R³向量
繞z軸旋轉矩陣S_z,θ是3×3

藏在2×2矩陣的矩陣連鎖

φ_2×2和φ_3×3之間的關係如下

φ_2×2 = M_2×3 φ_3×3 M_3×2 

原來如此

還是T懂女人的心 🤠

我知女人心 🙂

重溫Projection Matrix

原始的Projection Matrix怎麼來

當NDC的z落在-1~1之間

Sx和Sy的作用

讓視椎體的fov變成一定是90度角

這樣/z落才會落在-1和1之間

因為視椎體的Near( or Far) plane不一定是正方形

可能是長方形

所以Sx和Sy其中1個還包含了ratio = w / h 因子

置換矩陣 💫 旋轉矩陣

繞Z軸旋轉的幾何解釋

下面5張圖是右手座標

其他旋轉矩陣

  

出處

繞Y軸旋轉怎麼來的

下面這張圖是左手座標

圖Y

把結果Transpose後，就和上圖一樣

懂是懂了
但如何用矩陣來表達圖Y呢？

單位矩陣

是互相垂直的3軸

column-major

row-major

置換矩陣

這裡交換x、z

 

column-major

row-major

交換2次結果不變

 

使用置換矩陣來💫

圖Y

上圖和下圖等價

其他

複合矩陣

• 旋转为什么可以分解成xy平面的旋转复合xz平面的旋转复合yz平面的旋转？
• Local vs Global

LTC Area Light 裡的線代

學微積分 也學人蔘 🤠

學Area Light 也學線代 🙂

前篇 ➡️ LTC Area Light

教材

Real-Time Polygonal-Light Shading with Linearly Transformed Cosines

進入主題

dω_o / dω 就叫Jacobian

paper的附錄A

paper的附錄A

附錄A的綠色框框？

M是Shearing Matrix
可以分解成
M = R^-1SR

式(17)怎麼來的？

好人1生平安

Cross product: matrix transformation identity

出處

粉紅色框框？

水藍色框框？

用幾何的方式來理解[ M ][ m ]

M、m都是矩陣
[ M ]為矩陣M的行列式
[ m ]為矩陣m的行列式

[ M ] = 向量A、B、C張成的平行六面體體積
[ m ] = 向量a、b、c張成的平行六面體體積

Custom Projection Matrix to fit Vulkan default viewport

➡️ 前篇

客製化Projeciton Matrix

為了fit Vulkan奇怪的NDC

需要

Mb * Ma = Projection Matrix

Ma怎麼來？

Ma

Mb怎麼來？

當NDC的z落在-1~1之間 🐞
Mb

Fix 🐞

vulkan NDC的z落在0~1之間才對

OpenGL才是落在-1~1之間

vulkan tutorial裡有1行

#define GLM_FORCE_DEPTH_ZERO_TO_ONE

就是在指定NDC要用0~1

Vulkan-Tutorial-30-Depth-buffering

code from GLM setup.hpp

這樣一來

Mb其實是
A = F/(F-N)
B= -NF/(F-N)

 

比較一下

(MbMa)和GLM的perspectiveRH_ZO
只差在 Result[1][1]的正負

這代表

➡️ 前篇 的結果2和修正後的結果3

其實是同個投影矩陣！？

6參數版本的Projection Matrix

一直以來都是Fov派

突然有點好奇 6參數的版本

他推導的這1步 我覺得不是很直覺

所以想了一下，還是換成自己好理解的版本

Oblique Matrix 推導的疑惑

為什麼Eric先生 (Thank U

要用(sgn(C'.x),sgn(C'.y),1,1)

而不是F * (sgn(C'.x),sgn(C'.y),1,1)呢？

Oblique Matrix矩陣推導 (Thank U

--------------

在projectin space

right平面和top平面會相交在1條線b

在b上的點，只有(F,F,F,F)是4個值相等的

而(F,F,F,F)/w之後

會得到 (1,1,1,1)

--------------

P是projection matrix (OpenGL Right Hand Fov version 

P的逆矩陣是 P^-1

P^-1 (F,F,F,F)=( Ratio F tan(θ), F tan(θ),-F,1 )=QF

P^-1 (1,1,1,1)=( Ratio tan(θ), tan(θ), -1,1/F )=Q

Matrix (Thank U

calculate

在view space ， w =1

Q = Q/Q.w =QF

Q和QF其實是同1個點

用Q和QF算出來的 a 也是同1個東西

(因為上下都有1/F，最後就互相消掉了

--------------

3D平面 vs 4D平面

平面在3D的定義是

(X-P)。N=0

X、P、N都是3維的向量

。是內積；P是位在平面上的1點

X。N-P。N=0

X。N+d=0

展開來就是

(x,y,z,1)。(Nx,Ny,Nz,d)=0

Eric文章裡C指的是(Nx,Ny,Nz,d)

把平面當成了1個4D向量

view space C變換到Projection space的結果是C'

fov=2θ(half fov=θ)

Right裁切平面的情況為(以下為右手座標)

C'  = (-1,0,0,1)

C  = (-1/(R*tan(θ)),0,-1,0)

在view space是

(x,y,z,1)。(-1/(R*tan(θ)),0,-1,0) =0

-x/(R*tan(θ))+z=0

在projection space(4D)是

(x',y',z',w)。(-1,0,0,1) =0

-x'+w =0

世界World、點Point、向量Vector

P = Q + aX + bY

以世界為基準，定義座標系M

進行座標變換

矩陣連鎖

local to world

world to local