ω ∧ η 怎麼來的？

我是不是該安靜的走開

還是該勇敢留下來 🎶

出處

什麼下課？給我講清楚再走喔 🙂
妳好好說話 🤠

前備知識：

• anti-symmetric tensor的wedge product

好開始湊答案

假設ω和η都是3階張量

那ω⊗η就是6階張量

ω⊗η的wedge product展開後有6! = 720項

3! = 6

所以 ( ω ∧ η ) 會有 720 / (6×6) = 20 項

要怎麼湊出20？

20項裡的每1項
要和dx^a⊗dx^b⊗dx^c⊗dx^u⊗dx^v⊗dx^w比較
當交換次數為奇數就要加負號
這會讓20項的總合為正值

36是什麼？

dx^a⊗dx^b⊗dx^c的可能排列有3!=6項

dx^u⊗dx^v⊗dx^w的可能排列有3!=6項

6×6 = 36

這正好對映到

ω的wedge product有6項

η的wedge product有6項

(ω的wedge product) ∧ (η的wedge product) 

有36項

這36項的每1項展開後都有20項

展開前

有的項前面是負號，有的項前面是正號

減去正值不是我們想要的

遇到減去正值的項

代表該項在展開前應為負值

(6×6)×20 = 720

Special Thanks 

沒有什麼是1份咖啡因不能解決的

BGM

都過了24hr還在High？ 🤠😝