張量的升階和縮併

升階(增加維度)

Tensor product

1階張量有1個維度

以b_i為例，它的下標索引可以是1、2、3、4

以a_j為例，它的下標索引可以是1、2、3

b_i ⊗ a_j 變成2階張量(升階) T_ij

b_i ⊗ a_j = T_ij

T_ij有2個維度、2個索引

出處
2階張量⊗2階張量 = 4階張量
A_ij ⊗ B_k𝓁 = T_ijk𝓁

縮併(減少維度)

Tensor contraction

出處

出處

以3階張量為例

①找出2個足標：這裡是i和j

②把找到的所有張量相加

以內積為例

1+1+2 = 4 (升階)

4 -2 -2 = 0

縮併2次變純量(0階張量)

為什麼上面就是在縮併？ 

把A_i B_j δ_k𝓁展開來看看

4階張量可以當成

1個2階張量，它的每個元素都是1個2階張量

第1次縮併 讓 i = k

i =1 k =1 是粉紅色框起來那些元素
i =2 k =2 是草綠色框起來那些元素
i =3 k =3 是水藍色框起來那些元素

把3份相加後得到9個元素
這是第1次縮併的結果
(每個元素都是3個元素加在一起的結果)

第2次縮併 讓 j = 𝓁

j =1 𝓁 =1 是紅色框起來的元素
j =2 𝓁 =2 是綠色框起來的元素
j =3 𝓁 =3 是藍色框起來的元素

這3個元素加總後就是第2次縮併的結果

連續縮併2次的結果和教授列出來的式子相等

以外積為例

用特殊的方法生出T_ij

2+3 = 5 (升階)

5 -2 -2 = 1

縮併2次變向量(1階張量)

教授的代數過程

模仿教授，也可以寫成這樣

時間很多的話

也可以真的把它全部展開來再縮併2次

只要知道Levi-Civita Symbol長怎樣

可視化

Levi-Civita Symbol

紅線、綠線、藍線上面的點都是0 

白點是1、黑點是-1

3x3x3 = 27個裡，只有3白3黑

Geogebra

Geogebra

可以找出某個平面當成鏡子

那(1,2,3)白和(2,1,3)黑

1個就是鏡子外的點 

1個就是鏡子內的點

任1白點和任1黑點

都可以找出屬於他們的鏡平面

白點到另1個白點

可以鏡射2次

或是繞(1,1,1)向量旋轉

那麼

就把ϵ_k𝓁mT_ij展開來看看