速覽SH for glossy transport

今天本來不想卷的，但

上次看GAMES202

有個部分沒想通，做個記錄

p = q，積分項=1
p ≠ q，積分項 = 0

第6堂：Precomputed Radiance Transfer

第7堂：SH for glossy transport
這個矩陣怎麼來的？

SH一瞥

SH是一組2維基函數

抓前面m個基函數來使用

投影到SH

因為Diffuse和視角無關，上面橘色框框只是1個2維函數F

把F投影到SH上，得到投影系數C_1…C_m

Glossy BRDF一瞥

BRDF每個ω_o，會對映到多個ω_i

等同於每個ω_o，都對映到1個2維函數F_n

在球面上取n個方向

令每個方向為ω_n

每個ω_n，都會對映到1個2維函數F_n

第1次投影：把BRDF投影到SH

對每個ω_n，把F_n投影到SH上

得到投影系數T_n1…T_nm

(水平方向)

畫成表格就是

    m ➡️  SH系數

  n

⬇️    T₁₁…T_1m

⬇️    T₂₁…T_2m

⬇️            :

⬇️    T_n1…T_nm

 _方

 _向

用SH系數重新分組

令 m=1 為一組

可以得到1個2維函數S₁

    m ➡️  SH系數

  n

⬇️    T₁₁

⬇️    T₂₁

⬇️       :

⬇️    T_n1

 _方

 _向

全部分組完，可以得到m個2維函數S_m

第2次投影

把每個2維函數S_m都投影到SH上

最後會得到m組t_1m...t_Mm

_{(垂直方向)}

m = M

    m ➡️  SH系數

 M

⬇️    t₁₁…t_1m         

⬇️    t₂₁…t_2m

⬇️           :            

⬇️    t_M1…t_Mm   

 _SH

 _系

 _數

_{到這裡都是預計算(Offline)}

還原

已知ω_o的方向為 n=2

進行m次基函數的疊加可以還原成

    m ➡️  SH系數

  n

⬇️         

⬇️    T₂₁…T_2m

⬇️            

⬇️    

 _方

 _向

再把上面投影片

藍色框框的系數c_p和T₂₁…T_2m做內積

就是最後的光照結果

我叫t_Mm，這裡叫t_ij

把上面的過程寫成矩陣乘法

L = ( B t ) l = B ( t l )

和下面是同個意思

投影與組合

有1個在世界座標定義的向量V(x,y,z)

在世界座標定義1個正交座標系 W ，W不包含位移，只有3軸，而且3軸彼此互相垂直

• x-axis
• y-axis
• z-axis

投影

那麼

把V 從世界座標(空間)變換到W座標(空間)的方法，就是把v投影到W的3軸(基向量)

使用內積(dot)來投影 圖示

• x_w =dot(V, x-axis)
• y_w =dot(V, y-axis)
• z_w =dot(V, z-axis)

x_w =dot(V, x-axis) = 

x✖️x-axis.x ➕ y✖️x-axis.y ➕ z✖️x-axis.z

如果把函數想成無窮維度的向量

那麼 傅立葉變換 就是在做內積

把f(x)向量 投影到 基向量

組合

把 (x_w,y_w,z_w)從W座標(空間)變換回世界座標(空間)

就是 圖示

從W空間的原點(0,0,0)開始

• 移動x_w長度的x-axis
• 再移動y_w長度的y-axis
• 再移動z_w長度的z-axis

(0,0,0) ➕ x_w✖️x-axis ➕y_w✖️y-axis ➕z_w✖️z-axis

等同於在做3個基向量的組合

傅立葉逆變換 就是在 重新組合所有的基函數

座標變換：上半是投影、下半是組合

座標變換 VS 傅立葉變換

x_w、y_w、z_w都是實數c

但F(w)可以是複數 a+bi

為什麼基函數不一樣

為什麼？

傅立葉變換用的基函數是 

傅立葉逆變換 用的基函數是 

 

上面用到了歐拉公式

看起來投影得到的 a_n - b_n i

在組合之後實數部才會是

Σ ( a_n cos(2π n x) ₊ b_n sin(2π n x) )