投影與組合

有1個在世界座標定義的向量V(x,y,z)

在世界座標定義1個正交座標系 W ，W不包含位移，只有3軸，而且3軸彼此互相垂直

• x-axis
• y-axis
• z-axis

投影

那麼

把V 從世界座標(空間)變換到W座標(空間)的方法，就是把v投影到W的3軸(基向量)

使用內積(dot)來投影 圖示

• x_w =dot(V, x-axis)
• y_w =dot(V, y-axis)
• z_w =dot(V, z-axis)

x_w =dot(V, x-axis) = 

x✖️x-axis.x ➕ y✖️x-axis.y ➕ z✖️x-axis.z

如果把函數想成無窮維度的向量

那麼 傅立葉變換 就是在做內積

把f(x)向量 投影到 基向量

組合

把 (x_w,y_w,z_w)從W座標(空間)變換回世界座標(空間)

就是 圖示

從W空間的原點(0,0,0)開始

• 移動x_w長度的x-axis
• 再移動y_w長度的y-axis
• 再移動z_w長度的z-axis

(0,0,0) ➕ x_w✖️x-axis ➕y_w✖️y-axis ➕z_w✖️z-axis

等同於在做3個基向量的組合

傅立葉逆變換 就是在 重新組合所有的基函數

座標變換：上半是投影、下半是組合

座標變換 VS 傅立葉變換

x_w、y_w、z_w都是實數c

但F(w)可以是複數 a+bi

為什麼基函數不一樣

為什麼？

傅立葉變換用的基函數是 

傅立葉逆變換 用的基函數是 

 

上面用到了歐拉公式

看起來投影得到的 a_n - b_n i

在組合之後實數部才會是

Σ ( a_n cos(2π n x) ₊ b_n sin(2π n x) )