面光源的E(irradiance)和dE

➡️ 前情提要 

E是什麼

面光源的E = dΦ / dA = Φ / A

dA的大小是我們自己取的

如果把dA取的大一點，dΦ也會跟著變大

把dA取小，dΦ也會跟著變小

對面光源來說，不管把dA取大還是取小

E都是固定的

L是什麼

L_c cos(θ) = dE / dω 式①

改自 advanced global illumination

怎麼理解L_c cos(θ) = dE / dω 式①

固定dω向外輻射dE_ω

L_c cos(θ) = dE_ω / dω

光源向外輻射時R會增加，dω覆蓋的範圍會變大

但同時dE_ω又不隨距離而變

所以只有部分的dE_ω，會擊中紫色dA

L看起來不像射線

固定dA向外輻射dE_A

L_c cos(θ) = dE_A / dω_A

由下圖可知

dA沿著射線方向前進時

dω_A會變得愈來愈小 - ①

L看起來像射線

對 L_c cos(θ) = dE / dω 式①

移項後2邊同時積分

∫ L_c cos(θ) dω = ∫ dE

L_c π = E

L_c = E / π 

可以發現！

∫ L_c cos(θ) dω裡dω取大取小無關

對上圖中不同顏色的dω_A進行積分

∫ L_c cos(θ) dω_A = ∫ dE_A

∫ L_c cos(θ) dω_A = ∫ dE_A

∫ L_c cos(θ) dω_A = ∫ dE_A

結果都是 L_c π = E

L_c = E / π 

意即L_c不隨距離而變 - ②

移項

對 L_c cos(θ) = dE_A / dω_A 移項後

有dE_A = L_c cos(θ) dω_A - ③

結論

因為

dω_A會變得愈來愈小 - ①

L_c不隨距離而變 - ②

dE_A = L_c cos(θ) dω_A - ③

所以

dE_A會隨著dω_A變小而變小

也可以寫成

L_e cos(θ_e) = dE_A⤵ / dω_A⤵

e 指的是 Emitted