半球積分的Li dωi ⭐

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而我低頭拆信 想知道關於L的事情 🎶

2年前

我被這個問題困惑 📧

「半球積分的dω不是要從光源的觀點思考？才能知道物體遠近嗎？」

吉人之辭寡 躁人之辭多

教授只是回覆我 📧

「渲染方程的dω是從shading point的觀點思考」

等等教授

你可以再說清楚一點嗎？

可是這樣怎麼知道物體的遠近？

經過2年的放置play後

我終於get到了

放置 play

BGM

渲染方程中

半球積分的 L_i dω_i 到底是什麼？

dω_i 到底是什麼？

思路1：模仿面光源

整片面光源對shading point P 的貢獻是 E

Integrals over Area
E = ∫ dE
出處

dω_i = cos(θ_o) dA / r ² 
dE⊥ = L dω_i
dE = cos(θ_i) L dω_i

從shading point dA發射射線

• ①擊中物體表面dA時，可以得到物體表面dA的L_o
• ②擊中光源表面dA時，可以得到光源表面L_o

但因為 dω = dA / R²

dω R² = dA

這個dA會覆蓋多個dA

所以記作 A = dA

可以把①也看成面光源

我們就可以模仿上面的Integrals over Area

使用平行的力量

上圖的L_i dω_i 其實是下圖上半部那種情況

用到的符號

• d平方

最左邊

L_i dω_i = dE⊥

Warning！

上述假設所有dA都會在一個平面上

但如果不是

而是有起伏的表面B怎麼辦？

C_o = cos(θ_o)不再是定值

但把構成B的dA沿著dω方向投影後

仍會得到平面A_p

∫ dA cos(θ_o) = A_p

dω = A_p / R²

思路2：直接使用 dω

不糾結於光源dA

只看shading point dA的dω取多大

由Received L的定義可知

dE⊥ = L dω

dω取愈大，dE⊥自然也愈大

考慮不同射入方向時自然有

dE_i = cos(θ_i) L dω_i

用思路2反推A的大小

已知 dE⊥ = L dω

又因為 dω = A C_o / R²

A = ∫ dA

當dω變大，代表有更多的dA對shading point貢獻dE⊥

補充

半球積分如何表現
光源隨距離衰減

有1種path tracing 是不做直接光照

只靠Le來照亮場景

(L_e來自面光源P)

假設對shading point只計算1層積分

L_o  = L_e + ∫ F L_i cos(θ_i) dω_i 時

(不往下遞迴)

單看 L_o  = L_e + ∫ F L_i cos(θ_i) dω_i 這部分

_{當面光源P靠近shading point}

_{半球積分採樣到}的L_e多

_{反之，採樣到的Le少}

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