parallel transport的疑惑

Four Five Six , I don't wanna be.

沒必要每天都得正向積極 🎶

有氣無力也是1種態度 🤠🙂 That's right

該從何說起呢

相對論 20

幾何2 17講

既然parallel transport是

把V_b從座標系B變換到座標系A後

和V_a的差為0向量

那V_b和V_a看起來應該會平行吧

但在球上

為何不是長成右手邊那樣？

的確

球上的切平面只有2個維度
再怎麼平行也不能超出切平面

所以

沿著大圓(測地線)的座標值長怎樣？

(v,u)

v是緯度、u是經度

如果是用A^-1BV的方式
把V從赤道往北極一路進行座標變換
因為投影的關系，向量V會愈來愈短
一開始在赤道座標值(1,0)
到達北極不可能還是(1,0)

沿著赤道對(0,1)進行座標變換

也會有類似的變短問題

但

看別人直接去解Parallel Transport Equantion

結果在θ = π/2的圓上

任一點的座標值都是(0,1)

出處

S₁ 就是X_v
S₂ 就是X_u

S₁ S₂代表點p的2個basis
那向量T可寫成S₁、S₂的線性組合
T₁ S₁ + T₂ S₂

想看T沿著φ方向的平移所以內插方向選(0,1)
對Γ進行內插有
0 Γ^x_1y + 1 Γ^x_2y = Γ^x_2y (x和y可以是1或2)
這樣只會使用到Γ^x_2y

填入Γ

解微分方程 算出T₁ T₂

重新寫成T₁ S₁ + T₂ S₂

即便

不解方程式，用離散的作法使用Γ

Γ

Γ^α_vuV^udx^v

dx^v/ε = D^v

Γ^α_vuV^uD^v
順序可以交換

第1行是Γ^α_vudx^v的結果，dx^v = ε(0,1)，θ = π/2
第2行V^u = (0,1)

在赤道上的座標值也都是(0,1)

喔對了

X_v的方向應該是朝下

所以上面壓根不是(1,0)而是(-1,0)

黃色和黑色向量的差和傳說中的

黎曼曲率張量有關

相對論 21

那雖然

我不會解Parallel Transport Equantion

不過有發現

Geogebra

把大圓上的單位切向量V
投影到X_u和X_v取得座標值CordinateValue
座標值會隨著點P不停變化

但cos(α)=V X_u是個守恆量
V X_u是1個定值

離開大圓的話
cos(α)≠V X_u
V X_u也不是定值

另外這個也有點意思

點P逆時針方向從Lowest到Highest
V和X_v的夾角會從 90度增加到90+55.35
再減少回90度

從Highest到Lowest
V和X_v的夾角會從 90度減少到90-55.35
再增加回90度

這就像有顆紫色小球
在藍色大球裡來回滾動

當α=0，紫色小球就待在谷底一動不動
當α增加，紫色小球滾動到達的高度也會提高
當α=π/2，紫色小球彷佛搆著了頂端，不願再滾