仿射變換

為什麼？

先內插三角形頂點、再做座標變換=先做座標變換、再內插三角形頂點

線性變換1 link
線性變換2 link
仿射變換1 link

所以可以先在shader裡對三角形的3個頂點做變換 vMVP=v' 後 (clip space)

再內插三角形 (補充1)

v是頂點

MVP =Modle ✖️ View ✖️ Projection Matrix

參考書
https://book.douban.com/subject/3561816/

補充1：

其實是在screen space做三角形內插

但「screen space三角形的內插權重」會等於「NDC三角形的內插權重」α、β、γ

有了α、β、γ，再用透視校正，得到clip space的三角形內插權重α'、β'、γ'

Code

Global space 的轉動慣量

看到cyclone-physics

用下面的方式算出w(角速度)

I = R * I' * R^-1

τ = I α

w = w + αΔt

I' 是Local space 的轉動慣量

(它是一個矩陣)

R 是物件當下的旋轉矩陣

(用來變換到Global space)

R^-1是旋轉矩陣的逆

(用來變換到Local space)

 

衝量F Δt造成動量 ΔP的變化

F Δt = ΔP = m ΔV

左右同除Δt，得到

F = m (ΔV / Δt) =m a

τ Δt造成角動量ΔL的變化

τ = R X F

τ Δt = R X F Δt = ΔL = I Δw

在 Global space

旋轉中的物體，每個時間點 I 都在不停變化

但在Local space

I' 是定值

τ' Δt = I' Δw

左右同除Δt，得到

τ' = I' α'

Global space的轉動慣量

τ 是Global space 的力矩

α 是Global space 的角加速度

透過座標變換得到

Local 和 Global的關系

τ' = R^-1 * τ

α' = R^-1 * α

代入下式

τ' = I' α'

可以得到

(R^-1 * τ) = I' * (R^-1 * α)

左右同乘R

R * (R^-1 * τ) = R * I' * (R^-1* α)

τ = R * I' * R^-1 * α

τ = I * α

可知

I = R * I' * R^-1

就是Globalspace 的轉動慣量

計算w的方法

使用

τ = I α

w = w + αΔt

如果τ = | 0,0,0 |^T，α 也會是 | 0,0,0 |^T

那麼 w就不會改變

如果改用

L= L+ΔL

L = I w

只要有初始動量，就算之後ΔL = | 0,0,0 |^T，w還是會不停的改變

備註：

I = R * I' * R^-1 是在Ben的教學裡看到的

點光源的L 👩‍🔬

➡️ 目錄

Warning !

由面光源的L

• 交換微分順序的面光源Le

可知面光源的A，是指面光源的面積

而本篇的A，是指點光源向外輻射後的邊界面積

面光源把Φ分配到面積A ( E = dΦ / dA ) 

再從每個dA向外輻射 ( L = dE / dω cos(θ) )

才算完成能量的傳遞

而本篇從點光源中心往外輻射

把Φ分配到邊界面積A ( E = dΦ / dA = Φ / (4π R²) )

就已經完成能量的傳遞了

所以本篇的推導是錯的

本篇的結果，還會引發後續的問題

• 點光源L的Error 👩‍🔬

先微分dω、再微分dA

用圖像的方式

圖1

水藍色、粉紅色和草綠色的區域
應該是會貼在球面上，像是隱形眼1樣的形狀才對
這裡沒有畫的很好

水藍色、粉紅色、草綠色都是 I = dΦ/dω

可以看出隨著r變長 dI 的厚度會變薄

所以 L = dI /dA 會隨距離變小

用代數推導

點光源有Φ 假設光源平均向外，則

I = dΦ/dω = Φ/ω = Φ/4π

由圖1可知，dA切出來的部分就是dI

利用式①

可知水藍色、粉紅色、草綠色的面積為1sr * R_c ² 

(R_c代表代表它們和光源的距離)

由圖1可知，dI和I只是簡單的比例關系

所以有 dI = (dA/ R_c²)* I = (dA * I) / R_c²

最後可得

L = dI / dA = I / R_c²

「但L應該是不隨距離而改變的」No Good ❌

先微分dA、再微分dω

圖：點光源

E就像漸漸變大的泡泡當泡泡半徑變大

泡泡變的更薄了(每單位面積有更少的Φ)

「這次L就不隨距離而改變了」It's Good ✔️